ML Aggarwal Solution Class 9 Chapter 8 Indices Exercise 8

 Exercise 8

Question 1

(i) $\left(\frac{81}{16}\right)^{-\frac{3}{4}}$

⇒$\left(\frac{3^{4}}{2^{4}}\right)^{-3 / 4}$

⇒$\left[\left(\frac{3}{2}\right)^{4}\right]^{-3 / 4}$

⇒$\left(\frac{3}{2}\right)^{4 \times-\frac{3}{4}}$

⇒$\left(\frac{3}{2}\right)^{-3}$

⇒$\left(\frac{2}{3}\right)^{3}$

⇒$\frac{2^{3}}{3^{3}}$

⇒$\frac{2^{3}}{3^{3}}$

⇒$\frac{2 \times 2 \times 2}{3 \times 3 \times 3}$

⇒$\frac{8}{27}$

(ii) $\left(1 \frac{61}{64}\right)^{-2 / 3}$

⇒$\left(\frac{125}{64}\right)^{-2 / 3}$

⇒$\left(\frac{5^{3}}{4^{3}}\right)^{-2 / 3}$

⇒$\left[\left(\frac{5}{4}\right)^{3}\right]^{-2 / 3}$

⇒$\left(\frac{5}{4}\right)^{3 \times \frac{-2}{3}}$

⇒$\left(\frac{5}{4}\right)^{-2}$

⇒$\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$

⇒$\frac{4^{2}}{5^{2}}$

⇒$\frac{16}{25}$

Question 2

(i) (2a^-3b²)³

⇒2³a^-3×3b^2×3

⇒8a^-9b⁶

(ii) $\frac{a^{-1}+b^{-1}}{(a b)^{-1}}$

⇒$\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{\frac{1}{a b}}$

⇒$\frac{\frac{b+a}{a b}}{\frac{1}{a b}}$

⇒$\frac{b+a}{a b} \times \frac{a b}{1}$

⇒a+b

Question 3

(i) $\frac{x^{-1} y^{-1}}{x^{-1}+y^{-1}}$

⇒$\frac{(x y)^{-1}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$

⇒$\frac{\frac{1}{x y}}{\frac{y+x}{x y}}$

⇒$\frac{1}{x+y}$

(ii) $\frac{\left(4 \times 10^{7}\right)\left(6 \times 10^{-5}\right)}{8 \times 10^{10}}$

⇒$\frac{4 \times 10^{7} \times 6 \times 10^{-5}}{8 \times 10^{10}}$

⇒$\frac{3 \times 10^{7-5}}{10^{10}}$

⇒$\frac{3 \times 10^{2}}{10^{10}}$

⇒$\frac{3}{10^{10-2}}$

⇒$\frac{3}{10^{8}}$

Question 4

(i) $\frac{3 a}{b^{-1}}+\frac{2 b}{a^{-1}}$

Sol :

⇒$\frac{3 a}{\left(\frac{1}{b}\right)}+\frac{2 b}{\left(\frac{1}{a}\right)}$

⇒3ab+2ab

⇒5ab

(ii) 5⁰×4^-1+8^1/3

⇒$1 \times \frac{1}{4}+\left(2^{3}\right)^{\frac{1}{3}}$

⇒$\frac{1}{4}+2$

⇒$\frac{1+8}{4}$

⇒$\frac{9}{4}$

Question 5

(i) $\left(\frac{8}{125}\right)^{-1 / 3}$

⇒$\left(\frac{2^{3}}{5^{3}}\right)^{-1 / 3}$

⇒$\left(\frac{2}{5}\right)^{3\times \frac{-1}{3}}$

⇒$\left(\frac{2}{5}\right)^{-1}$

⇒$\frac{5}{2}$

(ii) $(0.027)^{\frac{-1}{3}}$

⇒$\left(\frac{27}{1000}\right)^{-1 / 3}$

⇒$\left(\frac{3^{3}}{10^{3}}\right)^{-1 / 3}$

⇒$\left(\frac{3}{10}\right)^{8 \times-1 / 8}$

⇒$\left(\frac{3}{10}\right)^{3\times \frac{-1}{3}}$

⇒$\frac{10}{3}$

Question 6

(i) $\left(-\frac{1}{27}\right)^{-2 / 3}$

⇒$-\left(\frac{1}{3^{3}}\right)^{-2 / 3}$

⇒$-\frac{1}{\left(3^{3}\right)^{-2 / 3}}$

⇒$-\frac{1}{3^{3 \times {\frac{-2}{3}}}}$

⇒$-\frac{1}{3^{-2}}$

⇒-3²

⇒-9

(ii) (64)^-2/3 ÷ 9^-3/2

⇒(4³)^-2/3÷(9²)^-3/2

⇒$4^{3\times \frac{-2}{3}}\div 3^{2\times \frac{-3}{7}}$

⇒4^-2÷3^-3

⇒$\frac{4^{-2}}{3^{-3}}$

⇒$\frac{\frac{1}{4^{2}}}{\frac{1}{3^{3}}}$

⇒$\frac{3^{3}}{4^{2}}$

⇒$\frac{27}{16}$

Question 7

(i) $\frac{(27)^{2 n / 3} \times 8^{-n / 6}}{(18)^{-n / 2}}$

⇒$\frac{\left(3^{3}\right)^{\frac{2 n}{3}} \times\left(2^{3}\right)^{-n / 6}}{(2 \times 9)^{-n / 2}}$

⇒$\frac{3^{3 \times \frac{2 n}{3}} \times 2^{3 \times \frac{-n}{6}}}{{2^{\frac{-n}{2}} \times 3^{2 \times-\frac{n}{2}}}}$

⇒$\frac{3^{2 n} \times 2^{-n / 2}}{2^{-n / 2} \times 3^{-n}}$

⇒$\frac{3^{2 n}}{2^{-n / 2}} \times \frac{1}{2^{n / 2}} \times 3^{n}$

⇒$\frac{3^{2 n+n}}{2^{\frac{-n}{2}}\times 2^{\frac{n}{2}}}$

⇒$\frac{3^{3 n}}{2^{-n/2} \cdot 2^{n / 2}}$

⇒$\frac{3^{3 n} \times 2^{n / 2}}{2^{n / 2}}$

⇒3³ⁿ

(ii) $\frac{5 \cdot(25)^{n+1}-25(5)^{2 n}}{5 \cdot(5)^{2 n+3}-(25)^{n+1}}$

⇒$\frac{5^{1} \cdot\left(5^{2}\right)^{n+1}-5^{2} \cdot 5^{2 n}}{5^{1} \cdot 5^{2 n+3}-\left(5^{2}\right)^{n+1}}$

⇒$\frac{5^{1+2 n+2}-5^{2+2 n}}{5^{1+2 n+3}-5^{2 n+2}}$

⇒$\frac{5^{2 n+3}-5^{2+2 n}}{5^{2 n+4}-5^{2+2 n}}$

⇒$\frac{5^{2 n+1} \cdot 5^{3}-5^{2} \cdot 5^{2 n}}{5^{2 n} \cdot 5^{4}-5^{2} \cdot 5^{2 n}}$

⇒$\frac{5^{2 h}\left[5^{3}-5^{2}\right]}{5^{3 n}\left[5^{4}-5^{2}\right]}$

⇒$\frac{125-25}{625-25}$

⇒$\frac{100}{600}$

⇒$\frac{1}{6}$

Question 8

(i) $\left(8^{\frac{-4}{3}} \div 2^{-2}\right)^{\frac{1}{2}}$

⇒$\left(\left(2^{3}\right)^{\frac{-4}{3}} \div 2^{-2}\right)^{1 / 2}$

⇒$\left(\frac{2^{-4}}{2^{-2}}\right)^{1 / 2}$

⇒$\left(2^{-4+2}\right)^{1 / 2}$

⇒$\left(2^{-2}\right)^{1 / 2}$

⇒2^-1

⇒$\frac{1}{2}$

(ii) $\left(\frac{27}{8}\right)^{2 / 3}-\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}+5^{\circ}$

⇒$\left(\frac{3^{3}}{2^{3}}\right)^{\frac{2}{3}}-\left(\frac{1}{2^{2}}\right)^{-2}+1$

⇒$\left(\frac{3}{2}\right)^{3 \times \frac{2}{3}}-\frac{1}{2^{2 \times -2}}+1$

⇒$\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{1}{2^{-4}}+1$

⇒$\frac{9}{4}-2^{4}+1$

⇒$\frac{9}{4}-16+1$

⇒$\frac{9}{4}-15$

⇒$\frac{9-60}{4}$

⇒$\frac{-51}{4}$

Question 9

(i) $\left(3 x^{2}\right)^{-3} \times\left(x^{9}\right)^{\frac{2}{3}}$

Sol :

⇒$\frac{1}{\left(3 x^{2}\right)^{3}} \times x^{9 \times\frac{2}{3}}$

⇒$\frac{1}{3^{3} \cdot x^{2 \times 3}} \times x^{3 \times 2}$

⇒$\frac{1}{27 \cdot x^{6}} \times x^{6}$

⇒$\frac{1}{27}$

(ii) $\left(8 x^{4}\right)^{1 / 3} \div x^{1 / 3}$

⇒$\left(2^{3} \cdot x^{4}\right)^{1 / 3} \div x^{1/ 3}$

⇒$\frac{2^{3 \cdot \frac{1}{3}} \cdot x^{4 \cdot \frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$

⇒$\frac{2 \cdot x^{4 / 3}}{x^{1 / 3}}$

⇒$2 \cdot x^{4\times \frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{3}}$

⇒$x^{\frac{1}{3}}\left[2 x^{4}-1\right]$

Question 10

(i) $\left(3^{2}\right)^{0}+3^{-4} \times 3^{6}+\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$

⇒$3^{0}+3^{-4+6}+\frac{1}{3^{-2}}$

⇒3⁰+3^-4+6+3²

⇒$1+\frac{1}{3^{2}}+3^{2}$

⇒1+9+9

⇒19

(ii) $9^{\frac{5}{2}}-3 \cdot(5)^{0}-\left(\frac{1}{81}\right)^{\frac{-1}{2}}$

⇒$9^{\frac{5}{2}}-3(1)-\left(\frac{1}{9^{2}}\right)^{\frac{-1}{2}}$

⇒$9^{\frac{5}{2}}-3-\frac{1}{9^{2 \times \frac{-1}{2}}}$

⇒$3^{2\times \frac{5}{2}}-3-\frac{1}{9^{-1}}$

⇒3⁵-3-9

⇒3⁵-3-3²

⇒3(3⁴-1-3)

⇒3(81-1-3)

⇒3(77)

⇒231

Question 11

(i) $16^{\frac{3}{4}}+2\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} \cdot 3^{0}$

⇒$\left(2^{4}\right)^{\frac{3}{4}}+2\left(\frac{1}{2^{-1}}\right) \cdot 1$

⇒$2^{4 \times \frac{3}{4}}+2 \cdot 2$

⇒2³+4

⇒8+4

⇒12

(ii) $(81)^{\frac{3}{4}}-\left(\frac{1}{32}\right)^{\frac{-2}{5}}+(8)^{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} \cdot(2)^{0}$

⇒$\left(3^{4}\right)^{\frac{3}{4}}-\left(\frac{1}{2^{5}}\right)^{-2 / 5}+\left(2^{3}\right)^{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{2^{-1}}\right)$

⇒$3^{3}-\frac{1}{2^{5 \times \frac{-2}{5}}}+2(2)$

⇒$3^{3}-\frac{1}{2^{-2}}+2(2)$

⇒27-2²+4

⇒27-4+4

⇒27

Question 12

(i) $\left(\frac{64}{125}\right)^{\frac{-2}{3}} \div \frac{1}{\left(\frac{256}{625}\right)^{\frac{1}{4}}}+\left(\frac{\sqrt{25}}{\sqrt[3]{64}}\right)^{0}$

⇒$\left(\frac{4^{3}}{5^{3}}\right)^{-2 / 3} \div \frac{1}{\left(\frac{4^{4}}{5^{4}}\right)^{\frac{1}{4}}}+1$

⇒$\left(\frac{4}{5}\right)^{3 \times \frac{-2}{3}} \div \frac{1}{\left(\frac{4}{5}\right)^{4 \times \frac{1}{4}}}+1$

⇒$\left(\frac{4}{5}\right)^{-2} \div \frac{1}{\left(\frac{4}{5}\right)}+1$

⇒$\frac{\left(\frac{5}{4}\right)^{2}}{\left(\frac{1}{5}\right)}+1$

⇒$\left(\frac{5}{4}\right)^{2} \times\left(\frac{4}{5}\right)+1$

⇒$\frac{5}{4}+1$

⇒$\frac{5+4}{4}$

⇒$\frac{9}{4}$

(ii) $\frac{5^{n+3}-6 \times 5^{n+1}}{9 \times 5^{n}-2^{2} \times 5^{n}}$

⇒$\frac{5^{n} \cdot 5^{3}-6 \times 5^{n} \cdot 5}{9 \times 5^{n}-2^2 \times 5^{n}}$

⇒$\frac{5^{n}\left[5^{3}-6 \times 5\right]}{5^{n}[9-4]}$

⇒$\frac{125-30}{5}$

⇒$\frac{95}{5}$

⇒19

Question 13

(i) $\left[(64)^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-2} \div 8^{0}\right]^{\frac{-1}{2}}$

⇒$\left(\left(4^{3}\right)^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{1}{2^{2}} \div 1\right)^{-1 / 2}$

⇒$\left(\frac{4^{2}}{2^{2}}\right)^{-1 / 2}$

⇒$\left(\frac{4}{2}\right)^{2 \times \frac{-1}{2}}$

⇒2^-1

⇒$\frac{1}{2}$

(ii) 3ⁿ×9ⁿ⁺¹ ÷ 3^n-1×9^n-1

⇒3ⁿ×3²⁽ⁿ⁺¹⁾ ÷ 3^n-1×3^2(n-1)

⇒3ⁿ×3²ⁿ⁺² ÷ 3^n-1×3^2n-2

⇒$\frac{3^{n+2 n+2}}{3^{n-1+2 n-2}}$

⇒$\frac{3^{3 n+2}}{3^{3 n-3}}$

⇒$\frac{3^{3 n} \cdot 3^{2}}{3^{3 n} \cdot 3^{-3}}$

⇒3²×3⁺³

⇒3²⁺³

⇒3⁵

⇒243

Question 14

(i) $\frac{\sqrt{2^{2}} \times \sqrt[4]{256}}{\sqrt[3]{64}}-\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$

⇒$\frac{\left(2^{2}\right)^{1 / 2} \times\left(4^{4}\right)^{1 / 4}}{\left(4^{3}\right)^{\frac{1}{3}}}-\frac{1}{2^{-2}}$

⇒$\frac{2 \times 4}{4}-2^{2}$

⇒2-4

⇒-2

(ii) $\frac{3^{\frac{-6}{7}} \times 4^{\frac{-3}{7}} \times 9^{\frac{3}{7}} \times 2^{\frac{6}{7}}}{2^{2}+2^{0}+2^{-2}}$

⇒$\frac{3^{\frac{-6}{7}} \times 3^{2 \cdot \frac{3}{7}} \times 2^{2 \times \frac{-3}{7}} \times 2^{\frac{6}{7}}}{4+1+\frac{1}{2^{2}}}$

⇒$\frac{3^{\frac{-6}{7}} \times 3^{\frac{6}{7}} \times 2^{\frac{-6}{7}} \times 2^{\frac{-6}{7}}}{4+1+\frac{1}{4}}$

⇒$\frac{3^{\frac{-6}{7}+\frac{6}{7}} \times 2^{-\frac{6}{7}+\frac{6}{7}}}{\frac{16+4+1}{4}}$

⇒$\frac{3^{0} \times 2^{0}}{\left(\frac{21}{4}\right)}$

⇒$\frac{1}{\left(\frac{21}{4}\right)}$

⇒$\frac{4}{21}$

Question 15

(i) $\frac{(32)^{\frac{2}{5}} \times(4)^{\frac{-1}{2}} \times(8)^{\frac{1}{3}}}{2^{-2} \div(64)^{\frac{-1}{3}}}$

⇒$\frac{\left(2^{5}\right)^{\frac{-2}{5}} \times\left(2^{7}\right)^{\frac{-1}{2}} \times\left(2^{3}\right)^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{2^{2}} \div\left(4^{3}\right)^{\frac{-1}{3}}}$

⇒$\frac{2^{-2} \times 2^{-1} \times 2^{1}}{\frac{1}{2^{2}} \div\left(4^{-1}\right)}$

⇒$\frac{2^{-1-2+1}}{\frac{\left(\frac{1}{2^{2}}\right)}{\left(\frac{1}{2^{2}}\right)}}$

⇒2^-2

⇒$\frac{1}{2^{2}}$

⇒$\frac{1}{4}$

(ii) $\frac{5^{2(x+6)} \times 25^{-7+2 x}}{(125)^{2 x}}$

⇒$\frac{5^{2 x+12} \times 5^{2(-7+2 x)}}{\left(5^{3}\right)^{2 x}}$

⇒$\frac{5^{2 x+12} \times 5^{-14+4 x}}{5^{6 x}}$

⇒$\frac{5^{2 x+12-14+4 x}}{5^{6 x}}$

⇒$\frac{5^{6 x-2}}{5^{6 x}}$

⇒$\frac{5^{6 x} \cdot 5^{-2}}{5^{6 x}}$

⇒5^-2

⇒$\frac{1}{5^{2}}$

⇒$\frac{1}{25}$

Question 16

(i) $\frac{7^{2 n+3}-49^{n+2}}{\left((343)^{n+1}\right)^{2 / 3}}$

⇒$\frac{7^{2 n+3}-7^{2(n+2)}}{\left(7^{3(n+1)}\right)^{2 / 3}}$

⇒$\frac{7^{2 n+3}-7^{2 n+4}}{7^{2(n+1)}}$

⇒$\frac{7^{2 n+3}-7^{2 n+4}}{7^{2 n+2}}$

⇒$\frac{7^{2 n} \cdot 7^{3}-7^{2 n} \cdot 7^{4}}{7^{2 n} \cdot n^{2}}$

⇒$\frac{2^{2 x}\left[7^{3}-7^{4}\right]}{7^{2 n} \cdot 7^{2}}$

⇒$\frac{343-2401}{49}$

⇒$\frac{-2058}{49}$

⇒-42

(ii) $(27)^{4 / 3}+(32)^{0.8}+(0.8)^{-1}$

⇒$\left(3^{3}\right)^{\frac{4}{3}}+\left(2^{5}\right)^{\frac{8}{10}}+\left(\frac{8}{10}\right)^{-1 }$

⇒$3^{4}+2^{5 \times \frac{4}{5}}+\left(\frac{4}{5}\right)^{-1}$

⇒$3^{4}+2^{4}+\frac{5}{4}$

⇒$81+16+\frac{5}{4}$

⇒$97+\frac{5}{4}$

⇒$\frac{388+5}{4}$

⇒$\frac{393}{4}$

Question 17

(i) $(\sqrt{32}-\sqrt{5})^{\frac{1}{3}} \cdot(\sqrt{32}+\sqrt{5})^{\frac{1}{3}}$

⇒$\left[\left(\sqrt{2^{5}}-\sqrt{5}\right) \cdot\left(\sqrt{2^{5}}+\sqrt{5}\right)\right]^{\frac{1}{3}}$

⇒$\left[\left(\sqrt{2^{5}}\right)^{2}-(\sqrt{5})^{2}\right]^{\frac{1}{3}}$

⇒$\left[\left(\sqrt{2^{5}}\right)^{2}-(\sqrt{5})^{2}\right]^{\frac{1}{3}}$

⇒$\left(2^{5}-5\right)^{\frac{1}{3}}$

⇒$(32-5)^{\frac{1}{3}}$

⇒$(27)^{\frac{1}{3}}$

⇒$\left(3^{3}\right)^{\frac{1}{3}}$

⇒3

(ii) $\left(x^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{-1}{3}}\right)\left(x^{\frac{2}{3}}+1+x^{\frac{-2}{3}}\right)$

⇒$\left(x^{1 / 3}-\frac{1}{x^{1 / 3}}\right)\left(x^{2 / 3}+1+\frac{1}{x^{2 / 3}}\right)$

∵It is in the form of (a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³

∴Here $a=x^{\frac{1}{3}} ; b=\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

∴$\left(x^{1 / 3}\right)^{3}-\left(\frac{1}{x^{1 / 3}}\right)^{3}$

⇒$x^{3/3}-\frac{1}{x^{3/3}}$

⇒$x-\frac{1}{x}$

Question 18

(i) $\left(\frac{x^{m}}{x^{n}}\right)^{l}-\left(\frac{x^{n}}{x^{l}}\right)^{m} \cdot\left(\frac{x^{l}}{x^{m}}\right)^{n}$

⇒(x^m-n)^l.(x^n-l)².(x^l-n)ⁿ

⇒x^ml-nl.x^mn-nl.x^nl-nm

⇒x^{ml-nl+mn-ml+nl-nm}

⇒x⁰

⇒1

(ii) $\left(\frac{x^{a+b}}{x^{c}}\right)^{a-b} \cdot\left(\frac{x^{b+c}}{x^{a}}\right)^{b-c} \cdot\left(\frac{x^{c+a}}{x^{b}}\right)^{c-a}$

⇒$\frac{x^{(a+b)(a-b)}}{x^{c(a-b)}} \cdot \frac{x^{(b+c)(b-c)}}{x^{a(b-c)}} \cdot \frac{x^{(c+a)(c-a)}}{x^{b(c-a)}}$

⇒$\frac{x^{a^{2}-b^{2}}}{x^{a c-b c}} \cdot \frac{x^{b^{2}-c^{2}}}{x^{a b-a c}} \cdot \frac{x^{c^{2}-a^{2}}}{x^{b c-a b}}$

⇒$\frac{x^{a^{2}-b^{2}+b^{2}-c^{2}+c^{2}-a^{2}}}{x^{a c-b c+a b-a c+b c-a b}}$

⇒$\frac{x^{0}}{x^{0}}$

⇒1

Question 19

(i) $\sqrt[lm]{\frac{x^l}{x^m}}\times \sqrt[mn]{\frac{x^m}{x^n}}.\sqrt[nl]{\frac{x^n}{x^l}}$

⇒$\sqrt[1 m]{x^{1-m}} \cdot \sqrt[m n]{x^{m-n}} \cdot \sqrt[n l]{x^{n-t}}$

⇒$\left(x^{l-m}\right)^{\frac{1}{l m}} \cdot\left(x^{m-n}\right)^{\frac{1}{n m}}\left(x^{n-l}\right)^{\frac{1}{n l}}$.

⇒$x \frac{l-m}{lm} \cdot x^{\frac{m-n}{n m}} \cdot x^{\frac{n-l}{n l}}$

⇒$x \frac{l-m}{lm}+\frac{m-n}{n m}+\frac{n-l}{n l}$

⇒$x \frac{n(l-m)+l(m-n)+m(n-l)}{lmn}$

⇒$x \frac{n l-n m+l m-l n+m n-ln}{l m n}$

⇒x⁰

⇒1

(ii) $\left(\frac{x^{a}}{x^{b}}\right)^{a^{2}+a b+b^{2}} \cdot\left(\frac{x^{b}}{x^{c}}\right)^{b^{2}+b c+c^{2}} \cdot\left(\frac{x^{c}}{x^{a}}\right)^{c^{2}+a c+a^{2}}$

⇒$x^{(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)}.x^{(b-c)\left(b^{2}+b c+c^{2}\right)}.x^{(c-a)(c^{2}+a c+a^{2})} $

⇒$x^{a^{3}-b^{3}} \cdot x^{b^{3}-c^{3}} \cdot x^{c^{3}-a^{3}} \cdot$

⇒$x^{a^{3}-b^{3}+b^{3}-c^{3}+c^{3}-a^{3}}$

⇒x⁰

⇒1

(iii) $\left(\frac{x^{a}}{x^{-b}}\right)^{a^{2}-a b+b^{2}} \cdot\left(\frac{x^{b}}{x^{-c}}\right)^{b^{2}-b c+c^{2}} \cdot\left(\frac{x^{c}}{x^{-a}}\right)^{c^{2}-a c+a^{2}}$

⇒$x^{(a-c-b))\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)}.x^{(b-c-c))\left(b^{2}-b c+c^{2}\right)}.x^{(c-(-a))(c^2-ac+a^2)}$

⇒$x^{(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)}.x^{(b+c)\left(b^{2}-c b+c^{2}\right)}.x^{(c+a)\left(c^{2}-a c+a^{2}\right)}$

⇒$x^{a^{3}+b^{3}} \cdot x^{b^{3}+c^{3}} \cdot x^{c^3+a^3}$

⇒$x^{a^{3}+b^{3}+b^{3}+c^{3}+c^{3}+a^{3}}$

⇒$x^{2 a^{3}+2 b^{3}+2 c^{3}}$

⇒$x^{2(a^3+b^3+c^3)}$

Question 20

(i) (a^-1+b^-1)÷(a^-2-b^-2)

⇒$\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) \div\left(\frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{b^{2}}\right)$

⇒$\left(\frac{b+a}{a b}\right) \div\left(\frac{b^{2}-a^{2}}{a^{2} b^{2}}\right)$

⇒$\frac{\frac{(b+a)}{a b}}{\frac{\left(b^{2}-a^{2}\right)}{a^{2} b^{2}}}$

⇒$\frac{(b+a)}{a b} \times \frac{(a b)^{2}}{\left(b^{2}-a^{2}\right)}$

⇒$\frac{b+a}{a b} \cdot \frac{(a b)^{2}}{(b+a)(b-a)}$

⇒$\frac{a b}{b-a}$

(ii) $\frac{1}{1+a^{m-n}}+\frac{1}{a^{n-m}+1}$

⇒$\frac{1}{1+a^{m-n}}+\frac{1}{1+a^{-(m-n)}}$

⇒$\frac{1}{1+a^{m-n}}+\frac{1}{1+\frac{1}{a^{m-n}}}$

⇒$\frac{1}{1+a^{m-n}}+\frac{1}{\frac{a^{m-n}+1}{a^{m-n}}}$

⇒$\frac{1}{1+a^{m-n}}+\frac{a^{m-n}}{a^{m-n}+1}$

⇒$\frac{1+a^{m-n}}{1+a^{m-n}}$

⇒1

Question 21

(i) $(a+b)^{-1}\left(a^{-1}+b^{-1}\right)=\frac{1}{a b}$

L.H.S⇒(a+b)^-1(a^-1+b^-1)

⇒$\frac{1}{a+b}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$

⇒$\frac{1}{a+b}\left(\frac{b+a}{a b}\right)$

⇒$\frac{1}{a+b}\left(\frac{a+b}{a b}\right)$

⇒$\frac{1}{a b}$

⇒R.H.S

(ii) $\frac{x+y+z}{x^{-1} y^{-1}+y^{-1} z^{-1}+z^{-1} x^{-1}}=x y z$

Sol :

L.H.S⇒$\frac{x+y+z}{x^{-1} y^{-1}+y^{-1} z^{-1}+z^{-1} x^{-1}}$

⇒$\frac{x+y+z}{\frac{1}{x y}+\frac{1}{y z}+\frac{1}{x z}}$

⇒$\frac{x+y+z}{\frac{z+x+y}{x y z}}$

⇒$\frac{x+y+z}{\frac{(x+y+z)}{x y z}}$

⇒xyz

⇒R.H.S

Question 22

Sol :

Given :

a=c^z ; b=a^x ; c=b^y

⇒a=c^z

⇒a=(b^y)^z  (∵c=b^y)

⇒a=(a^x)^yz

⇒a¹=a^xyz

∴Bases are equal ; so exponents are also equal

∴xyz=1

Hence proved

Question 23

Sol :

Given : 

a=xy^p-1 ; b=xy^q-1 ; c=xy^r-1

L.H.S⇒a^q-r.b^r-q .c^p-q

⇒(xy^p-1)^q-r.(xy)^q-1(r-p).(xy^r-1)^p-q

⇒xy^pq-pr-q+r.xy^qr-qp-r+p.xy^rp-rq-p+q

⇒xy^{pq-pr-q+r+qr-qp-r+p+rp-rq-p+q}

⇒xy⁰

⇒1

⇒R.H.S

∴Hence proved

Question 24

Sol :

Given : 2^x=3^y=6^-z

Let 2^x=3^y=6^-z=k

⇒$2=k^{1 / x}$

⇒$3=k^{1 / y}$

⇒$6=k^{-1 / 2}$

⇒$\frac{1}{6}=k^{1 / 2}$

⇒$\frac{1}{2 \times 3}=k^{1 / 2}$

⇒$\frac{1}{k^{\frac{1}{x}}. \cdot k^{\frac{1}{y}}}=k^{1 / 2}$

⇒$1=k^{\frac{1}{z}} \cdot k^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{y}$

⇒$k=k^{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}$

∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{2}=0$

Question 25

Sol :

Given : 2^x=3^y=6^z

Let 2^x=3^y=6^z=k

⇒$2=k^{1 / x}$

⇒$3=k^{1 / y}$

⇒$12=k^{1 / z}$

⇒$2^{2} \cdot 3=k^{1 / z}$

⇒$\left(k^{1 / x}\right)^{2} \cdot k^{1 / y}=k^{1 / z}$

⇒$k^{\frac{2}{x}} \cdot k^{\frac{1}{y}}=k^{\frac{1}{z}}$

⇒$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$

⇒$\frac{2 y+x}{x y}=\frac{1}{z}$

⇒$\frac{2}{x}=\frac{1}{z}-\frac{1}{y}$

⇒$\frac{2}{x}=\frac{y-z}{y z}$

⇒$x=\frac{2 y z}{y-z}$

∴Hence proved

Question 26

(i) (3x²)⁰

Sol :

⇒1

(ii) (xy)^-2

⇒$\frac{1}{(x y)^{2}}$

⇒$\frac{1}{x^{2} y^{2}}$

(iii) (-27a^a)^2/3

⇒-(3³a^a)^2/3

⇒-(3a³)^{3 × 2/3}

⇒-(3a³)²

⇒-3²a^3×2

⇒9a⁶

Question 27

Given : a=3 ; b=-2

(i) a^a+b^b

⇒3³+(-2)^-2

⇒$3^{3}+\frac{1}{(-2)^{2}}$

⇒$27+\frac{1}{4}$

⇒$\frac{108+1}{4}$

⇒$\frac{109}{4}$

(ii) a^b+b^a

⇒3^-2+(-2)³

⇒$\frac{1}{3^{2}}-8$

⇒$\frac{1}{9}-8$

⇒$\frac{1-72}{9}$

⇒$\frac{-71}{9}$

Question 28

Given : x=10³×0.0099 ;

y=10^-2×110

⇒$\sqrt{\frac{x}{y}} \Rightarrow \sqrt{\frac{10^{3} \times 0.0099}{10^{-2} \times 110}}$

⇒$=\sqrt{\frac{10^{3+2} \times 0.0099}{110}}$

⇒$\Rightarrow \sqrt{\frac{10^{5} \times 0.0099}{110}}$

⇒$\sqrt{\frac{990}{110}}$

⇒√3

⇒3

Question 29

Given : x=9 ; y=2 ; z=8

⇒$x^{\frac{1}{2}} \cdot y^{-1} \cdot z^{\frac{2}{3}}$

⇒$9^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{-1} \cdot 8^{\frac{2}{3}}$

⇒$\left(3^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot\left(\frac{1}{2}\right)\left(2^{3}\right)^{\frac{2}{3}}$

⇒$3 \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

⇒$3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4$

⇒6

Question 30

Given : x⁴y²z³=49392

$\begin{array}{r|l}2 & 49392 \\\hline 2& 24696 \\\hline 2 & 12348 \\\hline 2 & 6174 \\\hline 3 & 3087 \\\hline 3 & 1029 \\\hline 7&343 \\\hline 7&49\\\hline 7&7\\\hline &1\end{array}$

⇒x⁴y²z³=2⁴3²7³

∵x,y,z are different primes

∴x=2 ; y=3 ; z=7

Question 31

Given : $\sqrt[3]{a^{6} b^{-4}}=a^{x} \cdot b^{2} y$

⇒$\left(a^{6} b^{-4}\right)^{\frac{1}{3}}=a^{x} b^{2} y$

⇒$a^{\frac{6}{3}} \cdot b^{\frac{-4}{3}}=a^{x} b^{2 y}$

∴$x=\frac{6}{3}$

⇒x=2

⇒$2 y=\frac{-4}{3}$

⇒$y=\frac{-4}{3\times 2}$

⇒$y=\frac{-2}{3}$

Question 32

Given : 

⇒(p+q)^-1(p^-1+q^-1)=p^aq^b

⇒$\frac{1}{p+q}\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\right)=p^{a} \cdot q^{b}$

⇒$\frac{1}{p+q}\left(\frac{q+p}{q p}\right)=p^{a} \cdot q^{b}$

⇒$\frac{1}{qp}=p^{a} q^{b}$

⇒(qp)^-1=p^a.q^b

⇒p^-1.q^-1=p^a.q^b

a=-1

b=-1

∴L.H.S⇒a+b+z

⇒-1+2-1

⇒0

=R.H.S

Question 33

Sol :

Given : 

⇒$\left(\frac{p^{-1} q^{2}}{p^{2} q^{-4}}\right)^{7} \div\left(\frac{p^{3} q^{-5}}{p^{-2} q^{3}}\right)^{-5} =p^{x}q^y$

⇒$\left(\frac{p^{-7} \cdot q^{2 \times 7}}{p^{2 \times 7} q^{-4 \times 7}}\right) \div\left(\frac{p^{3 \times 5} \cdot q^{-5 x-5}}{p^{-2\times -5} q^{3 \times-5}}\right)=p^{x} q^{y}$

⇒$\left(\frac{p^{-7} q^{14}}{p^{14} q^{-28}}\right) \div\left(\frac{p^{15} \cdot q^{25}}{p^{10} q^{-15}}\right)=p^{x} \cdot q^{y}$

⇒(p^-7-14q¹⁴⁺²⁸)÷(p^15-10.q²⁵⁺¹⁵)=p^xq^y

⇒(p^-21.q⁴²)÷(p⁵.q⁴⁰)=p^x.q^y

⇒$\left(\frac{p^{-21} \cdot q^{42}}{p^{5} \cdot q^{40}}\right)=p^{x} \cdot q^{y}$⇒

⇒(p^-21-5.q^42-20)=p^x.q^y

⇒(p^-26.q²)=p^x.q^y

∴x=-26 ; y=2

∴x+y=-26+2

=-24

Question 34

(i) 5^2x+3=1

⇒5^2x+3=5⁰  (∵5⁰=1)

∴2x+3=0

⇒2x=-3

⇒$x=\frac{-3}{2}$

(ii) $(13)^{\sqrt{x}}=4^{4}-3^{4}-6$

⇒$(13)^{\sqrt{x}}=256-81-6$

⇒$(13)^{\sqrt{x}}=169$

⇒$(13)^{\sqrt{x}}=(13)^{2}$

⇒$(13)^{\sqrt{x}}=13^{2}$

⇒$\therefore \sqrt{x}=2$

⇒$x=2^{\frac{1}{2}}$

(iii) $\left(\sqrt{\frac{3}{5}}\right)^{x+1}=\frac{125}{27}$

⇒$\left(\frac{3}{5}\right)^{\frac{x+1}{2}}=\frac{5^{3}}{3^{3}}$

⇒$\left(\frac{3}{5}\right)^{\frac{x+1}{2}}=\left(\frac{5}{3}\right)^{3}$

⇒$\left(\frac{3}{5}\right)^{\frac{x+1}{2}}=\left(\frac{3}{5}\right)^{-3}$

∴$\frac{x+1}{2}=-3$

⇒x+1=-6

⇒x=-6-1

⇒x=-7

(iv) $(\sqrt[3]{4})^{2 x+\frac{1}{2}}=\frac{1}{32}$

⇒$\left[\left(2^{2}\right)^{\frac{1}{3}}\right]^{\frac{4 x+1}{2}}=\frac{1}{32}$

⇒$\left(2^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{4 x+1}{2}}=\frac{1}{2^{5}}$

⇒$2^{\frac{4 x+1}{3}}=2^{-5}$

⇒$\frac{4 x+1}{3}=-5$

⇒4x+1=-15

⇒4x=-15-1

⇒4x=-16

⇒$x=\frac{-16}{4}$

⇒x=-4

Question 35

(i) $\sqrt{\frac{p}{q}}=\left(\frac{q}{p}\right)^{1-2 x}$

⇒$\left(\frac{p}{q}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\frac{p}{q}\right)^{-(1-2 x)}$

⇒$\left(\frac{p}{q}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\frac{p}{q}\right)^{-1+2 x}$

⇒$\frac{1}{2}=-1+2 x$

⇒$-1+2 x=\frac{1}{2}$

⇒$2 x=\frac{1}{2}+1$

⇒$2 x=\frac{1+2}{2}$

⇒$2 x=\frac{3}{2}$

⇒$x=\frac{3}{2 \times 2}$

⇒$x=\frac{3}{4}$

(ii) $4^{x-1} \times(0.5)^{3-2 x}=\left(\frac{1}{8}\right)^{x}$

⇒$2^{2(x-1)} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{3-2 x}=\left(\frac{1}{2^{3}}\right)^{x}$

⇒$2^{2 x-2} \times \frac{1}{2^{3-2 x}}=\frac{1}{2^{3 x}}$

⇒$2^{2 x-2} \times 2^{2 x-3}=2^{-3 x}$

∴2x-2+2x-3=-3x

⇒4x-5=-3x

⇒4x+3x=5

⇒7x=5

⇒$x=\frac{5}{7}$

Question 36

Given : 5^3x=125

⇒10⁴=0.001

⇒5^3x=125

⇒5^3x=5³

⇒3x=3

⇒$x=\frac{3}{3}$

⇒x=1

∵10^y=0.001

⇒$10^{y}=\left(\frac{1}{1000}\right)$

⇒$10^{y}=\left(\frac{1}{10^{3}}\right)$

⇒10^y=10^-3

⇒y=-3

∴x=1 , y=-3

Question 37

Given : $\frac{9^{n} 3^{2} \cdot 3^{n}-27^{n}}{3^{3 m} \cdot 2^{3}}=\frac{1}{27}$

⇒$\frac{3^{2 n} 3^{2} 3^{n}-3^{3 n}}{3^{3 m} \cdot 2^{3}}=\frac{1}{3^{3}}$

⇒$\frac{3^{2 n+2+n}-3^{3 n}}{3^{3 m} \cdot 8}=\frac{1}{3^{3}}$

⇒$\frac{3^{3 n+2}-3^{3 n}}{3^{3 m} \cdot 8}=\frac{1}{3^{3}}$

⇒$\frac{3^{3 n}\left(3^{2}-1\right)}{3^{3 m} \cdot 8}=\frac{1}{3^{3}}$

⇒$\frac{3^{3 n}(9-1)}{3^{3 m} \cdot 8}=\frac{1}{3^{3}}$

⇒$\frac{3^{3 n} \cdot 8}{3^{3 m} \cdot 8}=\frac{1}{3^{3}}$

⇒3³ⁿ.3³=3^3m

⇒3³⁽ⁿ⁺¹⁾=3^3m
⇒m=n+1

Question 38

Given : 3^4x=(81)^-1

⇒3^4x=(3⁴)^-1

⇒3^4x=3^-4

⇒4x=-4

⇒$x=\frac{-4}{4}$

⇒x=-1

and 

⇒$10^{\frac{1}{y}}=0.0001$

⇒$10^{\frac{1}{y}}=\frac{1}{10000}$

⇒$10^{\frac{1}{y}} =\frac{1}{10^{4}}$

⇒$10^{\frac{1}{y}}=10^{-4}$

⇒$\frac{1}{y}=-4$

⇒$y=-\frac{1}{4}$

⇒2^-x.(16)^y

⇒2^-(-1)(2⁴)^-1/4

⇒2¹.2^-1

⇒$2 \cdot \frac{1}{2}$

⇒1

Question 39

Given : 3^x+1=9^x-2

⇒3^x+1=32(x-2)

⇒3^x+1=32x-4

⇒x+1=2x-4

⇒2x-x=1+4

⇒x=5

⇒2^1+x=2¹⁺⁵

=2⁶

=64

Question 40

(i) 3(2^x+1)-2^x+2+5=0

⇒3.2^x+3-2^x.2²+5=0

⇒3.2^x+3-2^x.4+5=0

⇒3.2^x-4.2^x+8=0

⇒-2^x+8=0

⇒2^x=8

⇒2^x=2³

⇒x=3

(ii) 3^x=9.3^y

⇒3^x=3².3^y

⇒3^x=3^2+y

⇒x=2+y

and 8.2^y=4^x

⇒2³2^y=2^2x

⇒3+y=2x

⇒$x=\frac{3+y}{2}$